Didactica de los Numeros Decimales

Para comenzar aclaramos que contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones entre cantidades. Donde una de ellas se opone a la otra, en el sentido de que al contar se establece una relación entre elementos de una colección y palabras número; mientras que al calcular se establece una relación directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones cuyos elementos se cuentan.

Hay que tener en cuenta que no se cuenta con un solo propósito, sino que se hace con varios sentidos. Algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar y comunicar.
El proceso de contar es complejo ya que requiere: conocer la serie numérica o parte de ella, ii- establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a contar y las palabras número que se recitan  e identificar el último término enunciado como representante de la cantidad.

Este es el sistema más popular, utilizado convencionalmente y objeto de estudio predominante de la educación básica. Se trata de un sistema posicional y polinómico.
Una primera consideración es que existe una gran diferencia que se constituye como problema a la hora de apropiarse del sistema, que refiere a la numeración oral y la escrita. La primera de ellas tiene una estructura aditiva (pensemos en los dieci, los veinti, etc.), en tanto la segunda es polinómica (y posicional), es decir el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por cierta potencia de 10 (735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).
Basándose en la naturaleza polinómica del sistema, que se describió anteriormente, los niños elaboran estrategias tanto para escribir los números, como para operar con ellos.

En toda acción de planificación es importante conocer los procesos de aprendizaje que permiten a los niños apropiarse y desarrollar conocimientos.
Siguiendo la lógica de Emilia Ferreiro, Delia Lerner dirigió una investigación (cuy informe ya ha sido citado) acerca de cómo los niños abstraen propiedades a partir de su contacto cotidiano con los números.
Lerner y su equipo constataron que construyen y manejan hipó tesis principalmente para comparar y ordenar, así como para pasar de la numeración hablada a la escrita. Ellas se hacen visibles en expresiones como, “este es más grande, ¿no ves que tiene más números?, el primero es el que manda. La primera refiere a la cantidad de cifras y su relación con la magnitud del número, ligada a la naturaleza polinómica; la segunda a la posición de las cifras como criterio de comparación.
Asimismo destacan que la apropiación de la  escritura convencional no sigue el orden de la serie numérica. Los niños manejan primero los nudos y luego rellenan entre ellos. No sin problemas dado que la numeración hablada es aditiva y no polinómica (así transcriben treinta y cinco como 305).
En lo que sigue describiremos otros obstáculos que se presentan en los procesos de aprendizaje y de enseñanza, y la problematización como recurso.

obstaculos

 Un primer problema es de orden formal, el currículo para Escuelas Primarias, en tanto parcializa el abordaje tanto de los números naturales, como de los distintos campos numéricos (incluso dejando de lado los imaginarios) y establece un orden cronológico que además no sigue el orden de inclusión de los campos según sus propiedades. También la falta de conocimientos profundos por parte de los docentes.
Esto favorece la instalación de ciertos obstáculos ontológicos, epistemológicos y didácticos.
Los ontológicos refieren a los procesos de maduración y de las estructuras de conocimiento que posea y pueda desarrollar.
Los epistemológicos refieren a errores que derivan del objeto mismo, por ejemplo el trasvasado de propiedades de un campo a otro en el que no se cumplen (es clásico el tratar a los racionales como dos naturales y mantener la idea de que entre dos racionales no existe otro u otros, propiedad de densidad  de los racionales).
Y los didácticos son aquellos que introducen los maestros que no derivan de propiedades del objeto de estudio. Tales como: que el resultado de una división natural es atómico; que dividir achica o es sólo una resta abreviada; que multiplicar agranda o es sólo una suma abreviada; no presentar a las fracciones y los decimales como dos maneras de representar a un subconjunto de los racionales (ej. 0,5=1/2); no introducir el error al realizar mediciones o al trabajar probabilidades; etc.

Desafios:

Cualquier pretensión de enseñarle a un niño, no debe desconocer la distancia que existe entre el saber o conocimiento erudito (académico) y las posibilidades que tiene el sujeto de conceptualizarlo. El proceso mediante el cual el saber académico se transforma a efectos de ser enseñado se denomina transposición didáctica  y fue elaborado por Chevallard.
Este proceso que implica simplificaciones, recortes, etc., expone al conocimiento a deformaciones que pueden vaciarlo de contenido, poniendo en riesgo  su significado. Cobra significado aquí el concepto de vigilancia epistemológica.
La propuesta analítica de criterios de adquisición de los conceptos de Vergnaud complementa la de Chevallard en tanto la primera se ocupa del enseñar en cuanto al saber que se enseña y ésta en definir qué es necesario para que un concepto pueda ser aprendido.
Un concepto se adquiere si: a) es operativo, es decir, si permite enfrentar una situación nueva y resolverla con dicho concepto (el pensamiento es conceptual y obedece simultáneamente a criterios prácticos y teóricos); b) se construye a lo largo del tiempo, el concepto se aplica en distintos contextos y problemas, permitiendo descubrir distintas propiedades del mismo; c) se distingue significado de significante (concepto de su representación).
Explicitadas estas consideraciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, nos ocuparemos de una estrategia didáctica profundamente fundamentada. La misma es esencia de la didáctica de la matemática.


Para dar respuesta al análisis anterior, proponemos una posible metodología. El abordaje de los diversos contenidos a enseñar a través del planteo y la resolución de problemas. Charnay (1988) profundiza a este respecto revisando el lugar que toma el problema en los tres modelos didácticos (desde las relaciones del triángulo didáctico): el problema como criterio del aprendizaje (modelos normativo), el problema como móvil (modelo incitativo) y el problema como recurso (modelo apropiativo).
Sostenemos que el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso (p.ej. evaluación, utilización de conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema conocido (lo cual constituiría un ejercicio), estaremos frente a un problema.
El problema por ser una herramienta didáctica que permite no sólo la reproducción de conocimientos sino también la producción de los mismos, ejerce una acción liberadora, por lo cual es una buena opción.
 iguiendo la fundamentación de Vergnaud, en tanto concebimos el concepto como un ente multifacético, proponemos se planifique de manera secuenciada atendiendo en cada propuesta una propiedad o faceta del concepto que se desea enseñar. Realizaremos algunas propuestas que ilustran qué conceptos consideramos indispensable trabajar en los tres niveles para
acceder al concepto de número y los sistemas de numeración.

La evaluación de conocimientos al comenzar el nivel es la primera tarea a emprender. Se debe evaluar no solo los conocimientos alcanzados por los niños sino también las estrategias que son capaces de desarrollar y las posibilidades de resolver problemas.
Para ello el juego es un elemento de valor didáctico. Al respecto existen varias posturas. Sostenemos que no se debe quitar al juego su carácter lúdico y espontáneo. Es interesante que para poder jugar satisfactoriamente el niño deba superar obstáculos, tal como cuando se plantea un problema. Ahora bien el juego se transforma en recurso didáctico cuando el docente lo propone sabiendo que para poder jugar el niño deberá poner en acción ciertos conocimientos.