Bloque 1 Matematicas - Unidad didactica Pablo Martinez Camacho

Significado y uso de literales

presentacion en powerpointSignificado y uso de literales.

3.1 construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.

Patrones matemáticos.

El termino patrón se refiere a algo que se repite constantemente.
En matemáticas, se habla de patrón como algo que puede ser descrito con la formalidad que la matemática requiere.

Un ejemplo son las progresiones, de cualquier tipo.
Los patrones matemáticos no necesitan de ser obvios para el ser humano, sino de ser, como antes mencione, descriptibles. Es decir, que puedan ser expresados de una forma concisa y objetiva

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada ve.

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo: Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:Probamos la regla: 2n
 

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

                                               Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término:

100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

    Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo 

    hacemos así:

	Posición del término
	Es normal usar xn para los términos: •        xn es el término •        n es la posición de ese término
	Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Ecuaciones.

•         3.2 Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado  de la forma ax+bx+c=dx+ex+f.

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa:

2x + 1 = 2 · (x + 1)     2x + 1 = 2x + 2    1≠2.

Cierta

2x + 2 = 2 · (x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2

Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

2x + 2 = 2 · (x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2         x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

•         Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

•         Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2           x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2         −13 = −13

Ecuaciones de primer grado o lineales

•         Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)2 = x2 - 2

x2 + 2x + 1 = x2 - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

Criterios de equivalencia de ecuaciones

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2

x = 1

Formas Geométricas

3.4 Establecer una formula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ...

... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°

Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

(Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

•         La regla general

•         Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180° al total:

 n-2 x 180°

•         Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

•          

•         Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°

•        
Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

3.5 conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

En un polígono regular podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

Un polígono es una figura geométrica cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos y no alineados, llamados lados

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina

•          Simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),

•          Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;

•          Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,

•          Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;

•          Regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,

•          Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;

•          Equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,

•          Equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

Presentacion

La Axiomatica

LAS FALLAS DEL APARATO EUCLIDIANO


La geometría clásica, de acuerdo con  la  forma  que Euclides le dio en  sus Elementos, pasó durante mucho tiempo como un modelo imposible de superar, y, al mismo tiempo, de igualar, de la teoría deductiva. Los términos que son propios a la teoría jamás son presentados sin una definición previa, las proposiciones no se citan sin antes haber sido demostradas, con excepción de un número reducido que sí son enunciadas, en primer lugar, en calidad de principios. En efecto, una demostración no puede remontarse al infinito y debe basarse en algunas proposiciones primeras, pero éstas han sido escogidas de modo tal que no subsista duda alguna en espíritu de su sano juicio. No importa que todo lo que se afirme sea empíricamente cierto, pues no se apela a la experiencia para justificarlo. El geómetra trabaja recurriendo sólo a la demostración y únicamente fundamenta sus pruebas sobre lo que ya con anterioridad se encuentre establecido en tanto esté de acuerdo con las leyes de la lógica. De este modo cada teorema guarda una relación necesaria con las proposi‐ ciones de las cuales es deducido como una consecuencia, de modo que, prueba tras prueba va constituyéndose una red estrecha en la que, directa o indirectamente, to‐ das las proposiciones se encuentran relacionadas entre sí. Así, el conjunto integra un sistema del que no se puede sustraer o cambiar una parte sin comprometer el todo. De este modo, “los griegos razonaron con toda la certeza posible en el campo de las matemáticas y heredaron al género humano los modelos del arte de la de‐ mostración”

Por tanto, ha venido pareciendo cada vez más que, si bien la geometría eu‐ clidiana había venido siendo por mucho tiempo el ejemplo más acabado que se pu‐ diera dar de una teoría deductiva ideal, el aparato lógico sobre el cual descansaba no era del todo irreprochable.

LAS PRIMERAS AXIOMATICAS 

Condiciones fundamentales que, para que se le  considere verdaderamente rigurosa, debe llenar una exposición deductiva:

1) Que los términos primeros, con los cuales se propone uno definir a todos los

otros, sean enunciados claramente.

2) Que las proposiciones primeras, con las cuales se propone uno demostrar

todas las otras, sean enunciadas claramente.

3) Que las relaciones que se enuncien entre los términos primeros sean sólo relaciones lógicas y que se mantengan independientes del sentido concreto que pueda darse a los términos.

4) Que sean sólo estas relaciones las que puedan intervenir en las demostraciones en forma independiente del sentido que tengan los términos (esto prohíbe, particularmente, tomar en préstamo cualquier cosa concerniente a la consideración de las figuras).

Una de las características que definen en forma más visible que una teoría deductiva ha sido puesta en forma axiomática es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teoría. Tal formulación demanda empero, si bien no correcciones, al menos alguna interpretación.

El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.

Ejemplo de axiomatica:

Aunque no tiene que ver con la geometría y con que su autor se haya preocupado especialmente por el problema de la expresión simbólica, como primer ejemplo de la axiomática daremos el que elaboró Peano para la teoría de los números naturales. Primero, porque su brevedad nos permitirá exponerla en su totalidad, luego porque puede encontrarse en ella la ilustración simple y notable del carácter de ambigüedad, dado que no conlleva sino tres términos primeros: cero, el número, el sucesor de… y cinco proposiciones primeras que transcribiremos de la notación simbólica al lenguaje común:

1) Cero es un número.

2) El sucesor de un número es un número.

 

3) Varios números, cualesquiera que sean, no pueden tener el mismo sucesor.

4) Cero no es el sucesor de ningún número.

5) Si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a un número cualquiera pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números (principio de inducción)

 

Se ve entonces cómo, con la ayuda de las dos primeras proposiciones es posible definir, primero, el número uno, después el dos y así sucesivamente. Con estas bases es posible definir o demostrar todas las nociones y proposiciones elementales de la aritmética.

Sólo que la interpretación habitual de  los términos  primeros  no es  la      única que puede satisfacer este juego de axiomas y así no puede determinar unívocamente un sistema concreto de proposiciones. Russell hace la siguiente observación: si le conservamos a sucesor su significado común, pero entendemos acero como un número cualquiera, digamos 100, y a número como cada uno de los que se continúan a partir de 100, los cinco axiomas quedan verificados y, naturalmente, todos los teoremas que de ellos pueden deducirse. 

 LAS AXIOMÁTICAS SIMBOLIZADAS

 

Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguaje habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades. Es de hecho, por esto, que la formalización supone la simbolización. Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no preposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema. Estas reglas, por supuesto, dejan por completo a un lado las interpretaciones eventuales de términos o de fórmulas, entre ellos los de la lógica.

En tal forma, la axiomatización de la lógica la fuerza al desdoblamiento, no sólo al que es propio de toda axiomática que permite se haga de ella una lectura abstracta o concreta, sino también al que demanda la anterioridad de la actividad constructi‐ va, tomando como referencia toda construcción formal. En su totalidad, la axiomá‐ tica formal se encuentra rodeada por un dominio intuitivo: por debajo, las interpre‐ taciones concretas que de ella se puedan dar, los modelos, que por lo general le han servido de base; por arriba, las ciencias que le son anteriores y que intervienen, en su proceso de edificación, con su verdad categórica y significado intuitivo. Pues bien, la colocación de la lógica, al extremo de la escala de las ciencias, le impide apoyarse en una ciencia previamente constituida.  

EL MÉTODO AXIOMÁTICO EN LA CIENCIA

Si se reflexiona sobre ellas, las ventajas del método axiomático resultan ma‐ nifiestas. En primer lugar constituyen un instrumento precioso de abstracción y análisis. El paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada, formaliza‐ da posteriormente, renueva, prolongándolo, el trabajo de abstracción que lleva, por ejemplo, de un número concreto (un montón de manzanas o de guijarros) al núme‐ ro aritmético, y después de la aritmética al álgebra, reemplazando los términos individuales por variables de las cuales sólo están determinadas las relaciones. Y, en fin, del álgebra clásica a la moderna, en la cual no sólo los objetos sino también las relaciones que se efectúan sobre estos objetos llegan a su vez a ser concretamen‐ te indeterminadas, fijadas sólo por algunas propiedades fundamentales muy abs‐ tractas. Por otro lado, ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan con frecuencia confusas, tienen comprehensiones que son a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicadas. 

El sistema axiomático no se aplicó exclusivamente a las matemáticas sino que se

desbordó por todos lados.

No constituirá sorpresa alguna que un método cuyo propósito es suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su campo de elección en la misma lógica. Esta ciencia hace en la actualidad un empleo sistemático y regular de ella y, al contrario, su uso va disminuyendo a medida que se desciende en la escala de las ciencias, cuando se pasa de la mecánica a otras partes de la física y, de allí, a las ciencias de la naturaleza. Podría decirse que no ha excedido aún el dominio de la física. Los ensayos que se han hecho en el campo de otras ciencias, como Woodger lo intentó con la biología, continúan siendo esporádicos y su interés radica exclusivamente en la curiosidad que provocan. No se trata de que ninguna ciencia rechace, por su naturaleza misma, su empleo, pero éste, para que rinda frutos, sólo debe llegar a su hora y en el momento en que la ciencia en cuestión alcance cierto grado de madurez

Las ventajas que ofrece este método no deben, sin embargo, disimular sus límites. En primer lugar no se debe olvidar que sólo representa una de las fases de la ciencia y que incluso el lógico y el matemático no se desinteresan de ninguna manera de la verdad material de sus proposiciones. El aritmético bien puede pretender que la descuida, pero sin embargo no deja de acoger, aparte de situarlos en un nivel inferior, muchos “teoremas empíricos”, que en realidad son verdaderas leyes inductivas. Pero en el lugar preciso en que se procede axiomáticamente, no sería posible llevar adelante el método hacia donde apunta. Este se propone perseguir a la intuición para sustituirla no ya por el razonamiento sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. En realidad el formalismo no es capaz de funcionar sin alimentarse, en éste u otro lugar, de la intuición. Y, en primer lugar, de la intuición concreta que lo sostiene.

EL ALCANCE FILOSÓFICO DE LA AXIOMÁTICA

El desdoblamiento axiomático funciona en todas las ciencias o, en todo caso, en todas las que están lo suficientemente avanzadas como para prestarse a la organización deductiva. Colóquese a la mecánica o a la óptica bajo la forma de una axiomática simbolizada y se deja de estar en presencia de una ciencia de lo real para encontrarse frente a un sistema formal, vacío de todo contenido empírico, donde “no se sabe ya de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero”. Y a la inversa, si frente a una axiomática abstracta se sabe asignar a los axiomas una interpretación válida en un cierto dominio de lo real, súbitamente se ilumina todo. Los símbolos adquieren un sentido concreto, las fórmulas una verdad empírica. Ni siquiera resulta necesario, para ello, que la aplicación recaiga en lo que habitualmente sede  nomina el mundo físico, pues del mismo modo una traducción aritmética o lógica desempeña a la perfección este trabajo. Así, por ejemplo, la idea que se tiene habitualmente del número, que es abstracta cuando se la compara con un montón de bolas de billar, se convierte en una interpretación concreta en relación con las que aparece en los axiomas, y del mismo modo respecto a las nociones lógicas de negación, implicación, pertenencia a una clase, etcétera.

La filosofía del conocimiento que la axiomática sugiere no es otra cosa que un racionalismo que uno no se atreve a denominar empírico, dado que de este modo se encuentran, por lo común, opuestas ambas palabras. Por lo menos se le puede calificar de inductivo o experimental. El rechazo de todo a priori apodíctico o decisorio se duplica mediante una repulsa parecida de las dos ramas de la alternativa, entre las cuales el empirismo, en su versión actual, pretende encerrar el conocimiento: fenomenismo y nominalismo. Ni el espíritu contempla un dato en cuya elaboración no hubiera participado en ninguna forma, ni tampoco se agota en el plano de los signos y el cálculo formal. Y nada puede manifestar mejor su actividad que el establecimiento o la percepción de una correspondencia analógica entre el esquema simbólico y el modelo concreto.

 

 

Historia de las matemáticas

Cuando hablamos de matemática egipcia, y más extensamente de ciencia egipcia, incluyendo todas sus ramas, debemos antes de nada hacer notar que a diferencia de la matemática babilónica o más tarde la griega, la egipcia es ante todo una matemática empírica, o al menos esa es la única conclusión a la que podemos llegar después de analizar las fuentes. Si hay algo que caracteriza la ciencia del Antiguo Egipto es que se enseñaba a los escribas de la misma forma que durante siglos se había aprendido. No existen demostraciones de los métodos que se emplean, ni siquiera conocemos el origen de las fórmulas. Lo más que podemos ver son comprobaciones, pero nunca una demostración.

Los conocimientos que tenemos sobre la Matemática egipcia se  basan en 2 documentos: el papiro de Moscú, y el papiro Rhind. El primero se encuentra en un museo de la ciudad de Moscú y el segundo en el Museo Británico de Londres. Este último debe su nombre al anticuario escocés Henry Rhind. Los papiros están compuestos de planteamientos de problemas y su resolución. En el papiro de Moscú tenemos 25 y 87 en el papiro Rhind.  Es de suponer que ambos tenían una intención puramente pedagógica, con ejemplos de resolución de problemas triviales. Los papiros datan del año 1650 a.C. (Rhind)  y 1800 a.C (Moscú), pero los conocimientos que en ellos aparecen bien podrían fecharse en torno al año 3000 a.C. El papiro Rhind es también conocido como papiro de Ahmes, escriba autor de la obra y comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". El papiro de Moscú es de autor desconocido. Otras fuentes complementarias son el rollo de cuero, con 26 operaciones de sumas de fracciones de numerador 1, y los de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin.

Como en todos los aspectos cotidianos, los egipcios fueron fieles a sus tradiciones, y la evolución producida a lo largo de 2000 ó 3000 años fue mínima. En matemáticas los conocimientos demostrados a mediados del primer milenio eran posiblemente los mismos que en el tercer milenio. Las operaciones se realizaban de una determinada forma porque siempre se había hecho así. Los antiguos métodos de sumas, divisiones o resolución de ecuaciones simples se seguían empleando durante el Reino Nuevo y hasta la llegada de la matemática griega.

Ciertamente sobre la base de los 2 papiros más importantes de matemáticas no podemos sacar unas conclusiones claras de los conocimientos reales de los escribas egipcios en cuestiones de cálculo.  Ya hemos dicho que los papiros tenían una intención puramente pedagógica muy básica. Estaban básicamente destinados a la enseñanza de contabilidad y cálculo a los funcionarios del estado, y no es para nada una obra de conocimientos matemáticos. De ellos no podemos extraer más que conocimientos básicos de matemáticas.

 No sabemos si realmente los egipcios conocían sistemas más avanzados de cálculo, pero sí que la base de sus matemáticas era bastante árida. Como veremos, los métodos empleados para el cálculo de sumas de fracciones o multiplicaciones básicas no eran para nada sencillos. No se puede afirmar que los conocimientos matemáticos egipcios se cerrasen con lo que aquí vamos a explicar, o lo que aparece en el papiro Rhind,  pero tampoco tenemos pruebas de que fuesen más allá ni de que existiesen otros sistemas, si bien es cierto que posiblemente los arquitectos y personal especializado si utilizasen métodos diferentes.

En el papiro Rhind tenemos operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, resolución de ecuaciones con una incógnita, cálculos de áreas de triángulos y trapecios y de algunos volúmenes. Los métodos se usaban tal y como durante generaciones se habían aprendido.

 Existía una fórmula para el cálculo de ciertas áreas o volúmenes igual que tenían un método para sumar o restar, pero esa fórmula cometía los mismos errores de precisión que 1000 años antes y nadie se debió molestar en encontrar otra más precisa. ¿Por qué?. ¿Quiere esto decir que la fórmula era lo bastante exacta para las mediciones cotidianas?. ¿Existía algún sistema de corrección de estos errores?.

El cálculo de la superficie del círculo se realizaba como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Si consideramos un círculo de radio 100 obtendríamos un valor de la superficie de 7901.23. Esto nos daría un valor de pi de 3.160492. Pi es un número irracional con un valor, considerando los primeros 7 decimales de 3.1415926. El valor  obtenido por los egipcios es realmente cercano, el error cometido es aproximadamente 2 centésimas (3.1625). ¿Quiere esto decir que los egipcios conocían el número Pi? Yo sinceramente creo que no. No tenemos constancia de que conociesen este valor de 3.1605 sino simplemente un método que empleaban para calcular la superficie del círculo que como veremos se basaba en aproximaciones a superficies más sencillas.

Historia y filosofía de las matemáticas

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.

Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.

Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.

Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.

Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Uno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado).

A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales, no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional. Por esta razón, fue abandonada la teoría Pitagórica de la proporción, basada en números, por lo que más tarde crearon una nueva teoría no numérica, la cual fue introducida por Eudoxo, quien descubrió un método para demostrar supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los cuales contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en el siglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método teórico para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas.

Después, Herón expuso cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.

En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría.

Didactica

La palabra didáctica deriva del griego didaktike (‘enseñar’) y se define como la disciplina científico-pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y aprendizaje. Es, por tanto, la parte de la pedagogia que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las pautas de las teorías pedagógicas.

Está vinculada con otras disciplinas pedagógicas como, por ejemplo, la organización y la orientación educativa, la didáctica pretende fundamentar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Los componentes que actúan en el acto didáctico son:

• El docente o profesor
• El dicente o estudiante
• El contexto social del aprendizaje 
• El  currículo

El currículo escolar es un sistema de vertebración institucional de los procesos de enseñanza y aprendizaje, y tiene fundamentalmente cuatro elementos constitutivos: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Aunque hay paises que en sistema educativo el elemento contenido lo llegan a derivar en tres, como lo son los contenidos declarativos, conceptuales y los procedimentales. Es importante tener en cuenta el denominado currículo oculto que, de forma inconsciente, influye de forma poderosa en cuáles son los auténticos contenidos y objetivos en los que se forma el alumnado. Por ejemplo, Un docente tiene que conocer el CNB (Curriculum Nacional Base) de su pais, por que no todos tenemos las mismas necesidades, es por eso que tiene que conocer y tambien hacer uso de el, para que su trabajo se desarrolle de una manera eficiente de acuerdo a lo que su pueblo realmente necesite.

La didáctica se puede entender como pura técnica o ciencia aplicada y como teoría o ciencia básica  de la instrucción educación o formación. Los diferentes modelos didácticos pueden ser modelos teóricos (descriptivos, explicativos, predictivos) o modelos tecnológicos (prescriptivos, normativos).

La historia de la educación muestra la enorme variedad de modelos didácticos que han existido. La mayoría de los modelos tradicionales se centraban en el profesorado y en los contenidos (modelo proceso-producto). Los aspectos metodológicos, el contexto y, especialmente, el alumnado, quedaban en un segundo plano.

Como respuesta al verbalismo y al abuso de la memorización típica de los modelos tradicionales, los modelos activos (característicos de la escuela nueva) buscan la comprensión y la creatividad, mediante el descubrimiento y la experimentación. Estos modelos suelen tener un planteamiento más científico y democrático y pretenden desarrollar las capacidades de autoformación(modelo mediacional).

Actualmente, la aplicación de las ciencias cognitivas a la didáctica ha permitido que los nuevos modelos sean más flexibles y abiertos, y muestren la enorme complejidad y el dinamismo de los procesos de enseñanza-aprendizaje(modelo ecológico).

Cabe distinguir:

• Didáctica general, aplicable a cualquier individuo.Sin importar el ambito o materia.
• Didáctica diferencial, que tiene en cuenta la evolución y características del individuo.
• Didáctica especial o específica, que estudia los métodos específicos de cada materia.

Una de las principales característica de la educación corporativa, que la distingue de la educación tradicional, es la posibilidad de adoptar una didáctica diferencial. Las características del público discente pueden ser conocidas al detalle.

Una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se «juegan» entre tres polos: maestro, alumno, saber, por que se analiza:

• La distribución de los roles de cada uno.
• El proyecto de cada uno.
• Las reglas de juego: ¿qué está permitido?, qué es lo que realmente se demanda, qué se espera, qué hay que hacer o decir para demostrar que se sabe.

(Ricardo Isaac Arévalo Herrarte)

Muy esquemáticamente se describen tres modelos de referencia:

• El modelo llamado «normativo», «reproductivo» o «pasivo» (centrado en el contenido). Donde la enseñanza consiste en transmitir un saber a los alumnos. Por lo que, la pedagogía es, entonces, el arte de comunicar, de «hacer pasar un saber».
  • El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos.
  • El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, se entrena, se ejercita y al final, aplica.
  • El saber ya está acabado, ya está construido.
• El modelo llamado «incitativo, o germinal» (centrado en el alumno).
  • El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, busca una mejor motivación (medios centros de interés de Decroly, calculo vivo de Freinet).
  • El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la enseñanza programada).
  • El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de ese saber pasa a un segundo plano).
• El modelo llamado «aproximativo» o «constructivo» (centrado en la construcción del saber por el alumno). Se propone partir de modelos, de concepciones existentes en el alumno y ponerlas a prueba para mejorarlas, modificarlas, o construir unas nuevas.
• El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las diferentes fases (acción, formulación, validación, institucionalización), organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología).
• El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros, las defiende o las discute.
• El saber es considerado en lógica propia.

Presentacion