La geometría clásica, de acuerdo con la forma que Euclides le dio en sus Elementos, pasó durante mucho tiempo como un modelo imposible de superar, y, al mismo tiempo, de igualar, de la teoría deductiva. Los términos que son propios a la teoría jamás son presentados sin una definición previa, las proposiciones no se citan sin antes haber sido demostradas, con excepción de un número reducido que sí son enunciadas, en primer lugar, en calidad de principios. En efecto, una demostración no puede remontarse al infinito y debe basarse en algunas proposiciones primeras, pero éstas han sido escogidas de modo tal que no subsista duda alguna en espíritu de su sano juicio. No importa que todo lo que se afirme sea empíricamente cierto, pues no se apela a la experiencia para justificarlo. El geómetra trabaja recurriendo sólo a la demostración y únicamente fundamenta sus pruebas sobre lo que ya con anterioridad se encuentre establecido en tanto esté de acuerdo con las leyes de la lógica. De este modo cada teorema guarda una relación necesaria con las proposi‐ ciones de las cuales es deducido como una consecuencia, de modo que, prueba tras prueba va constituyéndose una red estrecha en la que, directa o indirectamente, to‐ das las proposiciones se encuentran relacionadas entre sí. Así, el conjunto integra un sistema del que no se puede sustraer o cambiar una parte sin comprometer el todo. De este modo, “los griegos razonaron con toda la certeza posible en el campo de las matemáticas y heredaron al género humano los modelos del arte de la de‐ mostración”
Por tanto, ha venido pareciendo cada vez más que, si bien la geometría eu‐ clidiana había venido siendo por mucho tiempo el ejemplo más acabado que se pu‐ diera dar de una teoría deductiva ideal, el aparato lógico sobre el cual descansaba no era del todo irreprochable.
LAS PRIMERAS AXIOMATICAS
Condiciones fundamentales que, para que se le considere verdaderamente rigurosa, debe llenar una exposición deductiva:
1) Que los términos primeros, con los cuales se propone uno definir a todos los
otros, sean enunciados claramente.
2) Que las proposiciones primeras, con las cuales se propone uno demostrar
todas las otras, sean enunciadas claramente.
3) Que las relaciones que se enuncien entre los términos primeros sean sólo relaciones lógicas y que se mantengan independientes del sentido concreto que pueda darse a los términos.
4) Que sean sólo estas relaciones las que puedan intervenir en las demostraciones en forma independiente del sentido que tengan los términos (esto prohíbe, particularmente, tomar en préstamo cualquier cosa concerniente a la consideración de las figuras).
Una de las características que definen en forma más visible que una teoría deductiva ha sido puesta en forma axiomática es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teoría. Tal formulación demanda empero, si bien no correcciones, al menos alguna interpretación.
El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.
Ejemplo de axiomatica:
Aunque no tiene que ver con la geometría y con que su autor se haya preocupado especialmente por el problema de la expresión simbólica, como primer ejemplo de la axiomática daremos el que elaboró Peano para la teoría de los números naturales. Primero, porque su brevedad nos permitirá exponerla en su totalidad, luego porque puede encontrarse en ella la ilustración simple y notable del carácter de ambigüedad, dado que no conlleva sino tres términos primeros: cero, el número, el sucesor de… y cinco proposiciones primeras que transcribiremos de la notación simbólica al lenguaje común:
1) Cero es un número.
2) El sucesor de un número es un número.
3) Varios números, cualesquiera que sean, no pueden tener el mismo sucesor.
4) Cero no es el sucesor de ningún número.
5) Si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a un número cualquiera pertenece también a su sucesor, entonces pertenece a todos los números (principio de inducción)
Se ve entonces cómo, con la ayuda de las dos primeras proposiciones es posible definir, primero, el número uno, después el dos y así sucesivamente. Con estas bases es posible definir o demostrar todas las nociones y proposiciones elementales de la aritmética.
Sólo que la interpretación habitual de los términos primeros no es la única que puede satisfacer este juego de axiomas y así no puede determinar unívocamente un sistema concreto de proposiciones. Russell hace la siguiente observación: si le conservamos a sucesor su significado común, pero entendemos acero como un número cualquiera, digamos 100, y a número como cada uno de los que se continúan a partir de 100, los cinco axiomas quedan verificados y, naturalmente, todos los teoremas que de ellos pueden deducirse.
Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguaje habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades. Es de hecho, por esto, que la formalización supone la simbolización. Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no preposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema. Estas reglas, por supuesto, dejan por completo a un lado las interpretaciones eventuales de términos o de fórmulas, entre ellos los de la lógica.
En tal forma, la axiomatización de la lógica la fuerza al desdoblamiento, no sólo al que es propio de toda axiomática que permite se haga de ella una lectura abstracta o concreta, sino también al que demanda la anterioridad de la actividad constructi‐ va, tomando como referencia toda construcción formal. En su totalidad, la axiomá‐ tica formal se encuentra rodeada por un dominio intuitivo: por debajo, las interpre‐ taciones concretas que de ella se puedan dar, los modelos, que por lo general le han servido de base; por arriba, las ciencias que le son anteriores y que intervienen, en su proceso de edificación, con su verdad categórica y significado intuitivo. Pues bien, la colocación de la lógica, al extremo de la escala de las ciencias, le impide apoyarse en una ciencia previamente constituida.
EL MÉTODO AXIOMÁTICO EN LA CIENCIA
Si se reflexiona sobre ellas, las ventajas del método axiomático resultan ma‐ nifiestas. En primer lugar constituyen un instrumento precioso de abstracción y análisis. El paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada, formaliza‐ da posteriormente, renueva, prolongándolo, el trabajo de abstracción que lleva, por ejemplo, de un número concreto (un montón de manzanas o de guijarros) al núme‐ ro aritmético, y después de la aritmética al álgebra, reemplazando los términos individuales por variables de las cuales sólo están determinadas las relaciones. Y, en fin, del álgebra clásica a la moderna, en la cual no sólo los objetos sino también las relaciones que se efectúan sobre estos objetos llegan a su vez a ser concretamen‐ te indeterminadas, fijadas sólo por algunas propiedades fundamentales muy abs‐ tractas. Por otro lado, ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan con frecuencia confusas, tienen comprehensiones que son a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicadas.
El sistema axiomático no se aplicó exclusivamente a las matemáticas sino que se
desbordó por todos lados.
No constituirá sorpresa alguna que un método cuyo propósito es suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su campo de elección en la misma lógica. Esta ciencia hace en la actualidad un empleo sistemático y regular de ella y, al contrario, su uso va disminuyendo a medida que se desciende en la escala de las ciencias, cuando se pasa de la mecánica a otras partes de la física y, de allí, a las ciencias de la naturaleza. Podría decirse que no ha excedido aún el dominio de la física. Los ensayos que se han hecho en el campo de otras ciencias, como Woodger lo intentó con la biología, continúan siendo esporádicos y su interés radica exclusivamente en la curiosidad que provocan. No se trata de que ninguna ciencia rechace, por su naturaleza misma, su empleo, pero éste, para que rinda frutos, sólo debe llegar a su hora y en el momento en que la ciencia en cuestión alcance cierto grado de madurez
Las ventajas que ofrece este método no deben, sin embargo, disimular sus límites. En primer lugar no se debe olvidar que sólo representa una de las fases de la ciencia y que incluso el lógico y el matemático no se desinteresan de ninguna manera de la verdad material de sus proposiciones. El aritmético bien puede pretender que la descuida, pero sin embargo no deja de acoger, aparte de situarlos en un nivel inferior, muchos “teoremas empíricos”, que en realidad son verdaderas leyes inductivas. Pero en el lugar preciso en que se procede axiomáticamente, no sería posible llevar adelante el método hacia donde apunta. Este se propone perseguir a la intuición para sustituirla no ya por el razonamiento sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. En realidad el formalismo no es capaz de funcionar sin alimentarse, en éste u otro lugar, de la intuición. Y, en primer lugar, de la intuición concreta que lo sostiene.
EL ALCANCE FILOSÓFICO DE LA AXIOMÁTICA
El desdoblamiento axiomático funciona en todas las ciencias o, en todo caso, en todas las que están lo suficientemente avanzadas como para prestarse a la organización deductiva. Colóquese a la mecánica o a la óptica bajo la forma de una axiomática simbolizada y se deja de estar en presencia de una ciencia de lo real para encontrarse frente a un sistema formal, vacío de todo contenido empírico, donde “no se sabe ya de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero”. Y a la inversa, si frente a una axiomática abstracta se sabe asignar a los axiomas una interpretación válida en un cierto dominio de lo real, súbitamente se ilumina todo. Los símbolos adquieren un sentido concreto, las fórmulas una verdad empírica. Ni siquiera resulta necesario, para ello, que la aplicación recaiga en lo que habitualmente sede nomina el mundo físico, pues del mismo modo una traducción aritmética o lógica desempeña a la perfección este trabajo. Así, por ejemplo, la idea que se tiene habitualmente del número, que es abstracta cuando se la compara con un montón de bolas de billar, se convierte en una interpretación concreta en relación con las que aparece en los axiomas, y del mismo modo respecto a las nociones lógicas de negación, implicación, pertenencia a una clase, etcétera.
La filosofía del conocimiento que la axiomática sugiere no es otra cosa que un racionalismo que uno no se atreve a denominar empírico, dado que de este modo se encuentran, por lo común, opuestas ambas palabras. Por lo menos se le puede calificar de inductivo o experimental. El rechazo de todo a priori apodíctico o decisorio se duplica mediante una repulsa parecida de las dos ramas de la alternativa, entre las cuales el empirismo, en su versión actual, pretende encerrar el conocimiento: fenomenismo y nominalismo. Ni el espíritu contempla un dato en cuya elaboración no hubiera participado en ninguna forma, ni tampoco se agota en el plano de los signos y el cálculo formal. Y nada puede manifestar mejor su actividad que el establecimiento o la percepción de una correspondencia analógica entre el esquema simbólico y el modelo concreto.
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