Didactica de los Numeros Decimales

Para comenzar aclaramos que contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones entre cantidades. Donde una de ellas se opone a la otra, en el sentido de que al contar se establece una relación entre elementos de una colección y palabras número; mientras que al calcular se establece una relación directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones cuyos elementos se cuentan.

Hay que tener en cuenta que no se cuenta con un solo propósito, sino que se hace con varios sentidos. Algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar y comunicar.
El proceso de contar es complejo ya que requiere: conocer la serie numérica o parte de ella, ii- establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a contar y las palabras número que se recitan  e identificar el último término enunciado como representante de la cantidad.

Este es el sistema más popular, utilizado convencionalmente y objeto de estudio predominante de la educación básica. Se trata de un sistema posicional y polinómico.
Una primera consideración es que existe una gran diferencia que se constituye como problema a la hora de apropiarse del sistema, que refiere a la numeración oral y la escrita. La primera de ellas tiene una estructura aditiva (pensemos en los dieci, los veinti, etc.), en tanto la segunda es polinómica (y posicional), es decir el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por cierta potencia de 10 (735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).
Basándose en la naturaleza polinómica del sistema, que se describió anteriormente, los niños elaboran estrategias tanto para escribir los números, como para operar con ellos.

En toda acción de planificación es importante conocer los procesos de aprendizaje que permiten a los niños apropiarse y desarrollar conocimientos.
Siguiendo la lógica de Emilia Ferreiro, Delia Lerner dirigió una investigación (cuy informe ya ha sido citado) acerca de cómo los niños abstraen propiedades a partir de su contacto cotidiano con los números.
Lerner y su equipo constataron que construyen y manejan hipó tesis principalmente para comparar y ordenar, así como para pasar de la numeración hablada a la escrita. Ellas se hacen visibles en expresiones como, “este es más grande, ¿no ves que tiene más números?, el primero es el que manda. La primera refiere a la cantidad de cifras y su relación con la magnitud del número, ligada a la naturaleza polinómica; la segunda a la posición de las cifras como criterio de comparación.
Asimismo destacan que la apropiación de la  escritura convencional no sigue el orden de la serie numérica. Los niños manejan primero los nudos y luego rellenan entre ellos. No sin problemas dado que la numeración hablada es aditiva y no polinómica (así transcriben treinta y cinco como 305).
En lo que sigue describiremos otros obstáculos que se presentan en los procesos de aprendizaje y de enseñanza, y la problematización como recurso.

obstaculos

 Un primer problema es de orden formal, el currículo para Escuelas Primarias, en tanto parcializa el abordaje tanto de los números naturales, como de los distintos campos numéricos (incluso dejando de lado los imaginarios) y establece un orden cronológico que además no sigue el orden de inclusión de los campos según sus propiedades. También la falta de conocimientos profundos por parte de los docentes.
Esto favorece la instalación de ciertos obstáculos ontológicos, epistemológicos y didácticos.
Los ontológicos refieren a los procesos de maduración y de las estructuras de conocimiento que posea y pueda desarrollar.
Los epistemológicos refieren a errores que derivan del objeto mismo, por ejemplo el trasvasado de propiedades de un campo a otro en el que no se cumplen (es clásico el tratar a los racionales como dos naturales y mantener la idea de que entre dos racionales no existe otro u otros, propiedad de densidad  de los racionales).
Y los didácticos son aquellos que introducen los maestros que no derivan de propiedades del objeto de estudio. Tales como: que el resultado de una división natural es atómico; que dividir achica o es sólo una resta abreviada; que multiplicar agranda o es sólo una suma abreviada; no presentar a las fracciones y los decimales como dos maneras de representar a un subconjunto de los racionales (ej. 0,5=1/2); no introducir el error al realizar mediciones o al trabajar probabilidades; etc.

Desafios:

Cualquier pretensión de enseñarle a un niño, no debe desconocer la distancia que existe entre el saber o conocimiento erudito (académico) y las posibilidades que tiene el sujeto de conceptualizarlo. El proceso mediante el cual el saber académico se transforma a efectos de ser enseñado se denomina transposición didáctica  y fue elaborado por Chevallard.
Este proceso que implica simplificaciones, recortes, etc., expone al conocimiento a deformaciones que pueden vaciarlo de contenido, poniendo en riesgo  su significado. Cobra significado aquí el concepto de vigilancia epistemológica.
La propuesta analítica de criterios de adquisición de los conceptos de Vergnaud complementa la de Chevallard en tanto la primera se ocupa del enseñar en cuanto al saber que se enseña y ésta en definir qué es necesario para que un concepto pueda ser aprendido.
Un concepto se adquiere si: a) es operativo, es decir, si permite enfrentar una situación nueva y resolverla con dicho concepto (el pensamiento es conceptual y obedece simultáneamente a criterios prácticos y teóricos); b) se construye a lo largo del tiempo, el concepto se aplica en distintos contextos y problemas, permitiendo descubrir distintas propiedades del mismo; c) se distingue significado de significante (concepto de su representación).
Explicitadas estas consideraciones sobre la enseñanza y el aprendizaje, nos ocuparemos de una estrategia didáctica profundamente fundamentada. La misma es esencia de la didáctica de la matemática.


Para dar respuesta al análisis anterior, proponemos una posible metodología. El abordaje de los diversos contenidos a enseñar a través del planteo y la resolución de problemas. Charnay (1988) profundiza a este respecto revisando el lugar que toma el problema en los tres modelos didácticos (desde las relaciones del triángulo didáctico): el problema como criterio del aprendizaje (modelos normativo), el problema como móvil (modelo incitativo) y el problema como recurso (modelo apropiativo).
Sostenemos que el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso (p.ej. evaluación, utilización de conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema conocido (lo cual constituiría un ejercicio), estaremos frente a un problema.
El problema por ser una herramienta didáctica que permite no sólo la reproducción de conocimientos sino también la producción de los mismos, ejerce una acción liberadora, por lo cual es una buena opción.
 iguiendo la fundamentación de Vergnaud, en tanto concebimos el concepto como un ente multifacético, proponemos se planifique de manera secuenciada atendiendo en cada propuesta una propiedad o faceta del concepto que se desea enseñar. Realizaremos algunas propuestas que ilustran qué conceptos consideramos indispensable trabajar en los tres niveles para
acceder al concepto de número y los sistemas de numeración.

La evaluación de conocimientos al comenzar el nivel es la primera tarea a emprender. Se debe evaluar no solo los conocimientos alcanzados por los niños sino también las estrategias que son capaces de desarrollar y las posibilidades de resolver problemas.
Para ello el juego es un elemento de valor didáctico. Al respecto existen varias posturas. Sostenemos que no se debe quitar al juego su carácter lúdico y espontáneo. Es interesante que para poder jugar satisfactoriamente el niño deba superar obstáculos, tal como cuando se plantea un problema. Ahora bien el juego se transforma en recurso didáctico cuando el docente lo propone sabiendo que para poder jugar el niño deberá poner en acción ciertos conocimientos.

Didactica de Fracciones

Didactica de las fracciones

Las fracciones son una manera de anotar los números racionales. Es por eso que enseñar fracciones es adentrarse en cuestiones matemáticas complejas que van más allá de pintar pedacitos de un dibujo.

Al enseñar las fracciones los estudiantes pequeños que vienen de construir la idea de que los números naturales son tan grandes como se quiera, o sea el infinito hacia afuera por así decirlo, con las fracciones se enfrentan al infinito hacia adentro ya que con las fracciones se puede partir en tantos pedacitos iguales como se quiera. Con números naturales agrego y agrego y siempre es posible encontrar un número natural mayor; con las fracciones tengo una cantidad y parto y parto y siempre es posible obtener una cantidad mayor de pedacitos cada vez más chicos, claro.

Cuando en clase de Matemática se propone la representación de cantidades fraccionarias es muy común este fenómeno en el que quiero poner la lupa. El docente pide representar 3/5, por ejemplo, y los chicos dibujan un rectángulo que partirán en 5 partes iguales y luego destacarán 3 de ellas, generalmente, coloreándolas.

  

Los chicos elijen dibujar el rectángulo de 5 cm de ancho para los 3/5, o de 5 cuadraditos si están trabajando en hoja cuadriculada. Con la misma idea, si a continuación el docente propone representar 4/7, dibujarán un rectángulo de 7 cm de ancho o de 7 cuadraditos.

 De la misma manera los chicos a dibujar un rectángulo de 20 cm si se tratara de representar veinte-avos. Los que transitamos las aulas estamos acostumbrados a ver esto. Obsérvese que esta manera de pensar las fracciones está inspirada por los números naturales que son el numerador y el denominador y queda afuera la idea de un entero que hay que partirlo sin que interese su medida. Esto es bien importante y el acento debe estar en poner a los chicos en la situación de buscar nuevas soluciones para el problema de partir de un entero que no se pueda modificar y partirlo en pedacitos iguales, si queremos que empiecen a comprender el verdadero sentido de las cantidades fraccionarias y su diferencia con cantidades enteras. Por esto enseñar fracciones es enseñar a cortar.

Aquí van algunas ideas.

• Conseguir una cantidad de papeles glasé. Se sabe que estos papelitos que se compran en las librerías son todos cuadrados de 10 centímetros de lado. La idea es tomar a ese papel como el entero y entonces pedimos a los estudiantes que corten :    2/3        2/4       2/5        2/6     2/7      2/8     2/9     2/10       2/13       2/17       2/19     2/21
• La actividad anterior se puede plantear tomando como entero a la hoja de papel blanco tamaño A4 que se usan para la impresora.
• Cortar 89/100 de una hoja de cartulina roja; 32/100 de una hoja de cartulina verde; 1/100 de una hoja de cartulina amarilla.
• Cortar de una hoja de papel madera estas cantidades:    35/1000       90/1000        600/1000.
• Sumar esas cantidades y calcular qué parte de la hoja de papel es la suma.
• Tomar ½ de cada cantidad y calcular qué parte es de la hoja original, cada uno.
• Hacer lo mismo para el doble de cada parte cortada.
• Cortar en dos partes iguales un papel glasé. Cortar uno de los medios en dos partes iguales. Volver a cortar uno de los medios en dos partes iguales. Otra vez, volver a cortar uno de los medios en dos partes iguales. Calcular qué parte es, del papel original, el pedacito más pequeño.
• Conseguir una jarra con medidas y agua para obtener ½ litro, ¼ litro, 1/5 litro, 1/3 litro, 1/10 litro y todas las fracciones que se les ocurran.
• Cortar una tira de papel de 1 metro de largo y, por plegado, calcular estas fracciones de metro: ½ , 1/3, ¼, 1/5, ¾, 5/8, etcétera. Con un metro de carpintero o de modista, calcular cuántos centímetros contiene cada parte.

 

Fracciones Equivalentes

·         Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.

·         Estas fracciones son en realidad lo mismo:

1	=	2	=	4
2		4		8

·        
¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

·         ¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción
también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

·         Por eso, estas fracciones son en realidad la misma.

·         Y en un dibujo se ve as^i:

1/2

2/4

  

 4/8

                        

  

Método 2

Divide las dos partes de la fracción por el Máximo Factor Común (¡tienes que calcularlo primero!).

Ejemplo: Simplifica la fracción ⁸/₁₂:

1. El mayor número que divide exactamente 8 y 12 es 4 (¿por qué?), así que el Máximo Factor Común es 4.

2. Divide arriba y abajo por 4:

	÷ 4
8	=	2
12		3
	÷ 4

Y la respuesta es: ²/₃

Sumar fracciones

Hay tres simples pasos para sumar fracciones:

Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: suma los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1
Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo 1:

1	+	1
4		4

Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Paso 2. Suma los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
 

1	+	1	=	1 + 1	=	2
4		4		4		4

 
Paso 3. Simplifica la fracción:

2	=	1
4		2

 
 

Ejemplo 2:

 

1	+	1
3		6

Paso 1: los números de abajo son diferentes. Así que necesitamos hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de ¹/₃ por 2 así:
 

1	=	2
3		6

y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales, nuestro problema queda así:

2	+	1
6		6

Paso 2: suma los números de arriba y ponlos sobre el mismo denominador:

2	+	1	=	2 + 1	=	3
6		6		6		6

Paso 3: simplifica la fracción:

3	=	1
6		2

Resta de fracciones

Hay tres simples pasos para restar fracciones

Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: resta los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1
Paso 3: simplifica la fracción
 

Ejemplo 1:

3	–	1
4		4

Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Step 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:

3	–	1	=	3 – 1	=	2
4		4		4		4

Paso 3. Simplifica la fracción:

2	=	1
4		2

 

Ejemplo 2:

1	–	1
2		10

Paso 1. los números de abajo son diferentes. Tenemos que hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de ½ por 5 así:

1	=	5
2		10

y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales:

5	–	1
10		10

Paso 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:

5	–	1	=	5 – 1	=	4
10		10		10		10

Paso 3. Simplifica la fracción:

	4	=	2
	10		5
Multiplicar Fracciones Hay 3 simples pasos para multiplicar fracciones 1. Multiplica los números de arriba (los numeradores). 2. Multiplica los números de abajo (los denominadores). 3. Simplifica la fracción.

Ejemplo 1

1	×	2
2		5

Paso 1. Multiplica los números de arriba:

1	×	2	=	1 × 2	=	2
2		5

Paso 2. Multiplica los números de abajo:

1	×	2	=	1 × 2	=	2
2		5		2 × 5		10

 Paso 3. Simplifica la fracción:

2	=	1
10		5

 

Ejemplo 2

1	×	9
3		16

Paso 1. Multiplica los números de arriba:

1	×	9	=	1 × 9	=	9
3		16

Paso 2. Multiplica los números de abajo:

1	×	9	=	1 × 9	=	9
3		16		3 × 16		48

Paso 3. Simplifica la fracción:

9	=	3
48		16

Dividir fracciones

Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la que quieres dividir) (ahora es la recíproca).
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda. Paso 3. Simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo 1

1	÷	1
2		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4
4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4
2		1		2 × 1		2

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	2
2

Ejemplo 2

1	÷	1
8		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4
4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4
8		1		8 × 1		8

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	1
8		2