presentacion en powerpointSignificado y uso de literales.
3.1 construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.
Patrones matemáticos.
El termino patrón se refiere a algo que se repite constantemente.
En matemáticas, se habla de patrón como algo que puede ser descrito con la formalidad que la matemática requiere.
En matemáticas, se habla de patrón como algo que puede ser descrito con la formalidad que la matemática requiere.
Un ejemplo son las progresiones, de cualquier tipo.
Los patrones matemáticos no necesitan de ser obvios para el ser humano, sino de ser, como antes mencione, descriptibles. Es decir, que puedan ser expresados de una forma concisa y objetiva
Los patrones matemáticos no necesitan de ser obvios para el ser humano, sino de ser, como antes mencione, descriptibles. Es decir, que puedan ser expresados de una forma concisa y objetiva
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada ve.
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo: Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:Probamos la regla: 2n
Probamos la regla: 2nn | Término | Prueba |
1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n | Término | Regla |
1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término:
100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo
hacemos así:
Posición del término | |
Es normal usar xn para los términos: • xn es el término • n es la posición de ese término | |
Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5 |
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ecuaciones.
• 3.2 Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma ax+bx+c=dx+ex+f.
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.
Cierta
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2 x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.
• Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
• Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13
Ecuaciones de primer grado o lineales
• Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
(x + 1)2 = x2 - 2
x2 + 2x + 1 = x2 - 2
2x + 1 = -2
2x + 3 = 0
Criterios de equivalencia de ecuaciones
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Formas Geométricas
3.4 Establecer una formula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
Ángulos interiores de polígonos
Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.
Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°
Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ...
... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°
Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°
(Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)
• La regla general
• Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180° al total:
• Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?
•
• Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°
•
Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°
Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°
3.5 conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
En un polígono regular podemos distinguir:
Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina
• Simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
• Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;
• Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
• Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
• Regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,
• Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
• Equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
• Equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.
