Historia de las matemáticas

Cuando hablamos de matemática egipcia, y más extensamente de ciencia egipcia, incluyendo todas sus ramas, debemos antes de nada hacer notar que a diferencia de la matemática babilónica o más tarde la griega, la egipcia es ante todo una matemática empírica, o al menos esa es la única conclusión a la que podemos llegar después de analizar las fuentes. Si hay algo que caracteriza la ciencia del Antiguo Egipto es que se enseñaba a los escribas de la misma forma que durante siglos se había aprendido. No existen demostraciones de los métodos que se emplean, ni siquiera conocemos el origen de las fórmulas. Lo más que podemos ver son comprobaciones, pero nunca una demostración.

Los conocimientos que tenemos sobre la Matemática egipcia se  basan en 2 documentos: el papiro de Moscú, y el papiro Rhind. El primero se encuentra en un museo de la ciudad de Moscú y el segundo en el Museo Británico de Londres. Este último debe su nombre al anticuario escocés Henry Rhind. Los papiros están compuestos de planteamientos de problemas y su resolución. En el papiro de Moscú tenemos 25 y 87 en el papiro Rhind.  Es de suponer que ambos tenían una intención puramente pedagógica, con ejemplos de resolución de problemas triviales. Los papiros datan del año 1650 a.C. (Rhind)  y 1800 a.C (Moscú), pero los conocimientos que en ellos aparecen bien podrían fecharse en torno al año 3000 a.C. El papiro Rhind es también conocido como papiro de Ahmes, escriba autor de la obra y comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". El papiro de Moscú es de autor desconocido. Otras fuentes complementarias son el rollo de cuero, con 26 operaciones de sumas de fracciones de numerador 1, y los de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin.

Como en todos los aspectos cotidianos, los egipcios fueron fieles a sus tradiciones, y la evolución producida a lo largo de 2000 ó 3000 años fue mínima. En matemáticas los conocimientos demostrados a mediados del primer milenio eran posiblemente los mismos que en el tercer milenio. Las operaciones se realizaban de una determinada forma porque siempre se había hecho así. Los antiguos métodos de sumas, divisiones o resolución de ecuaciones simples se seguían empleando durante el Reino Nuevo y hasta la llegada de la matemática griega.

Ciertamente sobre la base de los 2 papiros más importantes de matemáticas no podemos sacar unas conclusiones claras de los conocimientos reales de los escribas egipcios en cuestiones de cálculo.  Ya hemos dicho que los papiros tenían una intención puramente pedagógica muy básica. Estaban básicamente destinados a la enseñanza de contabilidad y cálculo a los funcionarios del estado, y no es para nada una obra de conocimientos matemáticos. De ellos no podemos extraer más que conocimientos básicos de matemáticas.

 No sabemos si realmente los egipcios conocían sistemas más avanzados de cálculo, pero sí que la base de sus matemáticas era bastante árida. Como veremos, los métodos empleados para el cálculo de sumas de fracciones o multiplicaciones básicas no eran para nada sencillos. No se puede afirmar que los conocimientos matemáticos egipcios se cerrasen con lo que aquí vamos a explicar, o lo que aparece en el papiro Rhind,  pero tampoco tenemos pruebas de que fuesen más allá ni de que existiesen otros sistemas, si bien es cierto que posiblemente los arquitectos y personal especializado si utilizasen métodos diferentes.

En el papiro Rhind tenemos operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, resolución de ecuaciones con una incógnita, cálculos de áreas de triángulos y trapecios y de algunos volúmenes. Los métodos se usaban tal y como durante generaciones se habían aprendido.

 Existía una fórmula para el cálculo de ciertas áreas o volúmenes igual que tenían un método para sumar o restar, pero esa fórmula cometía los mismos errores de precisión que 1000 años antes y nadie se debió molestar en encontrar otra más precisa. ¿Por qué?. ¿Quiere esto decir que la fórmula era lo bastante exacta para las mediciones cotidianas?. ¿Existía algún sistema de corrección de estos errores?.

El cálculo de la superficie del círculo se realizaba como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Si consideramos un círculo de radio 100 obtendríamos un valor de la superficie de 7901.23. Esto nos daría un valor de pi de 3.160492. Pi es un número irracional con un valor, considerando los primeros 7 decimales de 3.1415926. El valor  obtenido por los egipcios es realmente cercano, el error cometido es aproximadamente 2 centésimas (3.1625). ¿Quiere esto decir que los egipcios conocían el número Pi? Yo sinceramente creo que no. No tenemos constancia de que conociesen este valor de 3.1605 sino simplemente un método que empleaban para calcular la superficie del círculo que como veremos se basaba en aproximaciones a superficies más sencillas.

Historia y filosofía de las matemáticas

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.

Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.

Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.

Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.

Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Uno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado).

A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales, no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional. Por esta razón, fue abandonada la teoría Pitagórica de la proporción, basada en números, por lo que más tarde crearon una nueva teoría no numérica, la cual fue introducida por Eudoxo, quien descubrió un método para demostrar supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los cuales contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en el siglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método teórico para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas.

Después, Herón expuso cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.

En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría.

Didactica

La palabra didáctica deriva del griego didaktike (‘enseñar’) y se define como la disciplina científico-pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y aprendizaje. Es, por tanto, la parte de la pedagogia que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las pautas de las teorías pedagógicas.

Está vinculada con otras disciplinas pedagógicas como, por ejemplo, la organización y la orientación educativa, la didáctica pretende fundamentar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Los componentes que actúan en el acto didáctico son:

• El docente o profesor
• El dicente o estudiante
• El contexto social del aprendizaje 
• El  currículo

El currículo escolar es un sistema de vertebración institucional de los procesos de enseñanza y aprendizaje, y tiene fundamentalmente cuatro elementos constitutivos: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Aunque hay paises que en sistema educativo el elemento contenido lo llegan a derivar en tres, como lo son los contenidos declarativos, conceptuales y los procedimentales. Es importante tener en cuenta el denominado currículo oculto que, de forma inconsciente, influye de forma poderosa en cuáles son los auténticos contenidos y objetivos en los que se forma el alumnado. Por ejemplo, Un docente tiene que conocer el CNB (Curriculum Nacional Base) de su pais, por que no todos tenemos las mismas necesidades, es por eso que tiene que conocer y tambien hacer uso de el, para que su trabajo se desarrolle de una manera eficiente de acuerdo a lo que su pueblo realmente necesite.

La didáctica se puede entender como pura técnica o ciencia aplicada y como teoría o ciencia básica  de la instrucción educación o formación. Los diferentes modelos didácticos pueden ser modelos teóricos (descriptivos, explicativos, predictivos) o modelos tecnológicos (prescriptivos, normativos).

La historia de la educación muestra la enorme variedad de modelos didácticos que han existido. La mayoría de los modelos tradicionales se centraban en el profesorado y en los contenidos (modelo proceso-producto). Los aspectos metodológicos, el contexto y, especialmente, el alumnado, quedaban en un segundo plano.

Como respuesta al verbalismo y al abuso de la memorización típica de los modelos tradicionales, los modelos activos (característicos de la escuela nueva) buscan la comprensión y la creatividad, mediante el descubrimiento y la experimentación. Estos modelos suelen tener un planteamiento más científico y democrático y pretenden desarrollar las capacidades de autoformación(modelo mediacional).

Actualmente, la aplicación de las ciencias cognitivas a la didáctica ha permitido que los nuevos modelos sean más flexibles y abiertos, y muestren la enorme complejidad y el dinamismo de los procesos de enseñanza-aprendizaje(modelo ecológico).

Cabe distinguir:

• Didáctica general, aplicable a cualquier individuo.Sin importar el ambito o materia.
• Didáctica diferencial, que tiene en cuenta la evolución y características del individuo.
• Didáctica especial o específica, que estudia los métodos específicos de cada materia.

Una de las principales característica de la educación corporativa, que la distingue de la educación tradicional, es la posibilidad de adoptar una didáctica diferencial. Las características del público discente pueden ser conocidas al detalle.

Una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se «juegan» entre tres polos: maestro, alumno, saber, por que se analiza:

• La distribución de los roles de cada uno.
• El proyecto de cada uno.
• Las reglas de juego: ¿qué está permitido?, qué es lo que realmente se demanda, qué se espera, qué hay que hacer o decir para demostrar que se sabe.

(Ricardo Isaac Arévalo Herrarte)

Muy esquemáticamente se describen tres modelos de referencia:

• El modelo llamado «normativo», «reproductivo» o «pasivo» (centrado en el contenido). Donde la enseñanza consiste en transmitir un saber a los alumnos. Por lo que, la pedagogía es, entonces, el arte de comunicar, de «hacer pasar un saber».
  • El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos.
  • El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, se entrena, se ejercita y al final, aplica.
  • El saber ya está acabado, ya está construido.
• El modelo llamado «incitativo, o germinal» (centrado en el alumno).
  • El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, busca una mejor motivación (medios centros de interés de Decroly, calculo vivo de Freinet).
  • El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la enseñanza programada).
  • El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de ese saber pasa a un segundo plano).
• El modelo llamado «aproximativo» o «constructivo» (centrado en la construcción del saber por el alumno). Se propone partir de modelos, de concepciones existentes en el alumno y ponerlas a prueba para mejorarlas, modificarlas, o construir unas nuevas.
• El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las diferentes fases (acción, formulación, validación, institucionalización), organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología).
• El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros, las defiende o las discute.
• El saber es considerado en lógica propia.

Presentacion 

Origen de los Numeros

LA NUMERACIÓN

Es indudable que el hombre aprendió a contar y a conocer los eventos estelares antes que escribir, pues así lo indican claramente su conocimiento de las posiciones de los astros, del inicio de las estaciones y sus calendarios lunares, pues, según A. Marshack ya existían en el neolítico de grabados en hueso; y también lo demuestra la existencia de cromlechs, como el de Stonehenge, el más famoso de todos, para cuya construcción eran precisos conocimientos astronómicos y de cálculos.

El nacimiento de la agricultura y la ganadería también hicieron necesarios dichos conocimientos para saber cuándo se debía sembrar, realizar el recuento de las cosechas o aparear al ganado. Así también con la navegación, en la que era indispensable conocer cuándo y dónde se producían las mareas y corrientes marinas que podían imposibilitar o facilitar la navegación de las pequeñas embarcaciones de que disponían. 

Los primeros sistemas reales de numeración que conocemos pertenecen a egipcios y sumerios y para los 10 primeros números son los siguientes:

Como puede verse dichos sistemas de numeración no pueden ser más sencillos. Una mano contiene cinco dedos y dos manos 10; es por ello que los egipcios tomaron el 10 como base para su numeración, mientras que los sumerios adoptaron un sistema sexagesimal, es decir, de base sesenta.

Sesenta constituía la primera gran unidad y se representaba por , y sesenta veces sesenta (3.600) fue por mucho tiempo el número más allá del cual no se concebía pudiera haber más números, y de aquí su nombre de sar(círculo, totalidad).

Poco a poco, el sistema decimal fue suplantando al sexagesimal en la vida corriente, per en los cálculos matemáticos de sacerdotes y sabios el sistema sexagesimal siguió manteniéndose como indispensable para verificar cálculos complicados, a la vez que se convertía en una especie de numeración secreta.

Sin embargo, se encontraron con números que era imposible transcribir con dicho sistema, el primero de los cuales era 1/7; es imposible expresar la séptima parte de algo mediante fracciones sexagesimales, pues se necesita una serie interminable: 1/7 = 8/60 + 34/3.600 + 17/216.000 + ... que los escribas anotaban como 8,34,17.

Esta irreductibilidad del número 7 hizo que lo consideraran de mal agüero y lo atribuyeran a los demonios divinos, los cuales eran siete veces siete, es decir, totalmente irreductubles. De aquí se deducía que el más prudente era no emprender ningún trabajo en los días 7, 14 y 28 de cada mes. Ese fue el origen de la semana, y si bien el Génesis y demás libros sagrados de los hebreos hicieron desaparecer el sentido maléfico del siete, todavía lo sacralizaron más.

Los antiguos griegos adoptaron el mismo sistema de numeración decimal pero con los siguientes símbolos.

LETRAS Y NUMEROS

Para los pueblos mesopotámicos, números y letras se equiparan y adquieren significados propios, y aunque esta equivalencia parece desaparecer con dichos pueblos, reaparece en la Antigua Grecia cuando adopta el alfabeto que ha permanecido vigente hasta nuestros días, anulando el anterior sistema de numeración y asimilando un número a cada letra en forma correlativa.

NUMEROLOGÍA GRIEGA

Según la doctrina pitagórica, el número es algo cualitativo que de antemano se halla presente en todo y no se trata de un continuo cuantitativo infinito: el uno, el dos, el tres, etc. no son cantidades, sino determinaciones entre las cuales no existe un intervalo infinitamente divisible, sino una oposición en la cual -y sólo en ella- cada uno de los términos es lo que es.

Por ello, todo lo que constituye el ser de algo es número; en efecto, el uno de los pitagóricos no es la unidad uno, menor de 1,1 y mayor de 0,9, sino que es la unidad fundamental; toda cosa que exista es uno, y dos será la dualidad como otro uno opuesto al primero. Esto es uno y aquello es dos; por lo tanto, la dualidad es asumida en la unidad y la unidad remite de nuevo a la dualidad.

De aquí que el número sea la alternancia entre la unidad y la dualidad, entre lo impar y lo par, entre lo limitado y lo ilimitado. También nos dicen que la unidad que sobra en lo impar es lo que constituye su límite, y que el tres es un retorno a la unidad al suponer la alterabilidad, la limitación de lo ilimitado en la forma de un triángulo, la figura más simple, origen de todas la demás figuras planas. Cuatro es esta misma unidad de ambos términos (unidad y dualidad), pero establecida por el lado de la dualidad, y la suma de estos cuatro términos, 1 + 2 + 3 + 4 forma la tetraktys, o sea el número 10, que nos retorna al 1: 1 + 0 = 1.

Para comprender mejor todo esto, hay que proceder al cálculo en la misma forma que lo hacían nuestros antepasados, mediante el uso de pequeños guijarros (que nosotros podemos sustituir por lentejas o garbanzos para mayor comodidad), y no olvidemos que cálculo deriva de “calculus” que significa piedrecita.

Examinemos un número par y otro impar:

O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O O

Si partiendo de cada extremo y avanzando un piedra en cada paso, llegamos finalmente a dividir el número en dos partes iguales, el número es par; Pero si el proceso finaliza sobre una piedra, el número será impar. El número par siempre es imperfecto y le falta algo. El número par es perfecto y completo; unido al par conserva su cualidad dado que el resultado también es impar; unido a sí mismo da origen a un número par, demostrando su fecundidad.

Por el contrario, uniéndose a sí mismo, el par sólo es capaz de procrear otros números pares e incapaz de procrear un número impar, y se deja dividir en dos partes iguales; por ello es imperfecto.

Principio de todos los números, el 1 contiene a la vez el par y el impar como demuestra Theon de Esmirna, pitagórico del siglo II:

uno + par = impar

uno + impar = par

En realidad 2 y 3 no son números sino los principios de par e impar.

También entendemos mejor la tetraktys mostrándola formada por guijarros:

O

O O

O O O

O O O O

Y lo mismo ocurre con las representaciones geométricas, en las que el punto es la unidad, la línea la dualidad, la oposiciòn de un algo a otro algo, es decir, la distancia que los separa. Con el tres se recupera la unidad al formar algo cerrado en sí mismo, pues tres puntos delimitan una figura plana; pero sólo con el cuatro puede construirse un cuerpo, es decir, una figura en el espacio.

En el universo todo es ritmo, alternancia y geometría, y por ello, las relaciones que se desprenden pueden transmitirse bajo la forma de figuras armónicas de naturaleza vibratoria que actúan sobre nosotros. Y si el Cosmos es número y ritmo, podemos pasar de la armonía de los sonidos a la de las almas. Como dice Proclo: “El número es el glorioso padre de los dioses y de los hombres”; y sus seguidores identifican la Causa Primera -la unidad- con Dios.

Es por ello, que a partir de Pitágoras -o quien sabe desde mucho antes- se considera que cada número posee un valor cualitativo (además del cuantitativo) que le confiere un significado particular, tanto físico, como psíquico y espiritual.

Analicemos ahora el simbolismo de los números de 1 al 10, de acuerdo con las enseñanzas pitagóricas:

UNO: Es el símbolo de la unidad indivisible, de la continuidad y la estabilidad; el centro cósmico e inmaterial, impar, creador, iniciador y pionero. De aquí que se asocie al macho como poder generador activo e indique creación, impulso y actividad.

DOS: No engendra ninguna forma y de hecho tampoco es un número, sino el principio de la paridad, el símbolo de la oposición, conflicto, y reflexión. Es la dualidad como contraposición a la unidad, la pasividad como opuesta a la actividad; es el primer número par y como tal, femenino y complemento del principio generador impar y masculino, posibilitando así la continuidad y la multiplicidad. Es el punto que se desplaza dando origen a la línea, marcando su comienzo y su fin; en el tiempo y en el espacio indica el inicio de la realización, lo que en la vida indica dirección y destino y en los objetos determina la simetría, reflejo de trabajo y belleza.

El reino de la dualidad es universal y hace que todo sea ambivalente, que en todo exista polaridad, que al bien se oponga el mal, a la luz la oscuridad, ala energía la materia, y sea la limitación de lo ilimitado. Pero al significar el primero de los núcleos materiales, la naturaleza como opuesta al creador, también implica la imperfección ante la perfección, y por ello, en el fondo, la insatisfacción que impulsa seguir adelante.

TRES: Es el ternario en el que la tensión de los opuestos, entre par e impar, se resuelve dando origen a un nuevo impar; es el símbolo de la generación a partir de la unión entre dos complementarios, del macho y la hembra para dar origen al hijo; la espiritualidad como complemento de cuerpo y alma; es la línea que se desplaza sobre su punto de origen para dar nacimiento a l más simple de todas las figuras: el triángulo, y con él todas las figuras planas. Por ello es apto para reproducir eternamente las mismas estructuras. El tres cierra un ciclo, una primera totalidad que no es más que otro uno, otro impar en el que se iniciará el próximo ciclo; como dice Platón en el Timeo: “Es imposible combinar bien el conjunto de dos cosas sin una tercera, se necesita un lazo que las una”.

CUATRO: Es a la vez el segundo número par y el regreso a la unidad fundamental en un nivel superior, como lo evidencia su reducción mística en la que

1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1

Simboliza la potencia pro excelencia, pues en él, la unidad completa al ternario al unirse al mismo dando origen a la cruz y al cuadrado y, lo que es más importante, a las cuatro dimensiones del espacio, es decir, la determinación material y corpórea. Son los cuatro principios elementales, Fuego, Tierra, Aire y Agua, que conforman el Universo; los cuatro puntos cardinales, los cuatro pilares del Universo, las cuatro fases de la Luna y toda la infinidad de cuaternarios que sirven para definir una unidad superior.

Platón decía que el ternario es el número de la idea y el cuaternario es la realización de la idea. Por esta causa, en la séptuple organización de las direcciones del espacio, el ternario se halla situado en la vertical (tres mundos o tres niveles) mientras que el cuaternario se halla dispuesto en la horizontal, en el mundo de lo manifestado.

CINCO: Con el cinco hace aparición una nueva dimensión: el tiempo, lo que también equivale a la animación de la materia mediante la vida al concederle continuidad y sucesión. Los griegos le llamaban el número nupcial por su posición intermedia entre los cuatro primeros y los cuatro últimos números de la década. Simboliza al hombre como entidad completa e intermediaria entre el mundo inferior y el mundo divino. Es el hombre encerrado en el pentagrama revelador de la divina proporción, con sus cuatro miembros regidos por la cabeza, y los cuatro dedos regidos por el pulgar. Pero además, por su carácter de intermediario, puede ser un número destructor de lo temporal, mutable y perecedero.

Es el primer número que manifiesta todas las posibilidades del Universo, y por ello, los pitagóricos tenían como signo para reconocerse la estrella de cinco puntas. Por último, cuando se le representa mediante un cuadrado con un punto en su centro, representa la totalidad material (el cuaternario) y su esencia.

SEIS: Representado por la estrella de seis puntas, muestra el equilibrio entre dos triángulos enlazados y opuestos (Fuego y Agua); es por ello que se descompone como 3 + 3, como conjunción del tres consigo mismo. Es la oposición entre el Creador y su creación en un equilibrio indefinido, oposición que no implica necesariamente contradicción, pero que es fuente de todas las ambivalencias. Para los pitagóricos es el número perfecto, dado que el producto de los números que lo componen es igual a su suma:

1 + 2 + 3 = 6; y 1 x 2 x 3 = 6

SIETE: Ya vimos al estudiar el cuatro que su vuelta a la unidad significaba la realización de la unidad del mundo. Ahora al llegar al siete, lo que se realiza es la unidad universal. Este parentesco con el cuatro, símbolo de la Tierra, hace que se le atribuyan los siete astros errantes o planetas. Cuando procede del 6 + 1 se representa por una estrella de seis puntas con un punto en su centro, es el equilibrio tendiendo a la interioridad, revelando el misterio de la circulación de las fuerzas de la naturaleza.

OCHO: Es el primer número cúbico (aparte del 1), y en él se manifiesta el volumen. Simboliza la regeneración espiritual y la mediación entre el orden natural y el divino, por sé intermediario entre el círculo (símbolo de eternidad) y el cuadrado (símbolo de materialidad), ala vez que la estabilización en uno o en otro estado.

Refleja una armonía, pero también un cambio de nivel, pues siendo un número par y pasivo, puede dividirse y subdividirse siempre en números iguales:

8 = 4 + 4 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

De aquí que otro de sus significados sea el equilibrio cósmico, de la equidad y la justicia.

NUEVE: En la creación, los mundos son tres: cielo, tierra e infierno, y cada mundo es simbolizado por una tríada; por ello el nueve es el número que cierra el tercer ciclo a partir de la unidad, y con ello, la creación.

Perménides dice que el nueve es el número de las cosas absolutas, y en esta misma línea, debemos hacer constar que las nueve musas representaban a la totalidad de los conocimientos humanos. Además es también el número de la perfección, pues el feto humano nace al mes noveno, ya totalmente perfecto.

Porfirio, en sus Eneadas (conjunto de nueve) formas por 54 tratados, dice: “he tenido la alegría de hallar el producto del número perfecto, por el nueve”. Y en esta estructura numerológica, intenta simbolizar su visión total, cósmica, humana y teológica. Después de la emanación del Uno, con el retorno al Uno se completa el ciclo del Universo.

DIEZ: Tiene el sentido de la totalidad, de final, de retorno a la unidad finalizando el ciclo de los nueve primeros números. Para los pitagóricos es la santa tetraktys, el más sagrado de todos los números por simbolizar a la creación universal, fuente y raíz de la eterna naturaleza; y si todo deriva de ella, todo vuelve a ella. Es pues una imagen de la totalidad en movimiento.

La tetraktys forma un triángulo de 10 puntos colocados en cuatro líneas, de la forma siguiente:

La Santa Tetraktys pitagórica

La Unidad. Lo Divino, origen de todas las cosas. El ser inmanifestado

La Díada: Desdoblamiento del punto, Origen de la pareja maculino-femenino. Dualismo interno de todos los seres.

La Tríada: Los tres niveles del mundo: celeste, terrestre, infernal, y todas las trinidades

El Cuaternario: los cuatro elementos, tierra, aire, fuero y agua, y con ellos la multiplicidad del universo material.

El conjunto constituye la década, la totalidad de Universo: 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1

NUMERACIÓN ARABIGA

Referente a este tema diremos que la invención de las cifras arábigas es de origen hindú y fueron introducidas en España durante la ocupación árabe (de aquí su nombre), desde donde se expandieron a todo el mundo cristiano a partir del año 965 gracias a la autoridad del papa Silvestre II.

5

4

= 1

= 3

= 6

= 10 = 1

O

O O

O O O

O O O O

presentacion